Trzy nowe kształty w Mossaic, w tym taki, który nigdy się nie powtarza

Mozaiki w Moonlight zaczynały od kwadratu, sześciokąta, plusa i trójkąta. Cztery kształty, cztery sposoby na to, żeby kafel dotknął sąsiada. Dziś dochodzą trzy kolejne, a jeden z nich jest inny niż wszystko, co było wcześniej.

Dwa pięciokąty

Pięciokąt Cairo i pięciokąt pryzmatyczny to kafelkowania, które matematycy skatalogowali dawno temu, a które w mozaice robią jedną konkretną rzecz: dają pięciu sąsiadów. Do tej pory rekordem było sześć (sześciokąt i jodełka), ale przy sześciokącie sąsiedzi układają się regularnie i przewidywalnie. Przy pięciokątach kafel styka się z pięcioma osobami w układzie, którego nie da się przewidzieć na oko — trzeba spojrzeć.

Cairo wygląda jak plaster miodu ściśnięty w kwadrat: cztery pięciokąty ustawione w wiatraczek, powtórzone w obie strony. Pryzmatyczny to rzędy domków, na przemian dachem do góry i do dołu.

Cairo dało nam się we znaki bardziej, niż wypada przyznać. Dwa razy ułożyliśmy te pięciokąty w sposób, który wyglądał całkowicie poprawnie — i dwa razy okazało się, że zostawia dziury. Pułapka jest ładna: cztery pięciokąty obrócone wokół wspólnego wierzchołka tworzą idealny wiatraczek, tylko że każdy pięciokąt należy do dwóch takich wiatraczków naraz. Kto ułoży wiatraczek wokół każdego wierzchołka, ten pokryje płaszczyznę podwójnie. Prawdziwy wzór używa co drugiego, jak pola jednego koloru na szachownicy.

Zatrzymaliśmy się wtedy, zamiast wypuścić kształt, który wygląda dobrze. Kafel, który nie kafeluje, to nie jest błąd kosmetyczny — to tygodnie pracy prawdziwych ludzi, które na końcu do siebie nie pasują.

Spectre

I teraz ten trzeci.

W 2023 roku znaleziono kształt, którego szukano od pół wieku: jedną figurę, która wypełnia nieskończoną płaszczyznę, nigdy się przy tym nie powtarzając. Nie ma w takim ułożeniu żadnego fragmentu, który znalazłbyś gdzie indziej w tej samej pozycji. Nie ma rytmu, nie ma kratki, nie ma „co dziesiąty kafel wygląda tak samo". Każde miejsce jest jedyne.

Mozaika zbudowana na takim kafelku ma własność, której nie da się podrobić: nie ma w niej dwóch takich samych okolic. Kiedy dopasowujesz swój kafel do sąsiadów, robisz to w układzie, który nie powtórzy się nigdzie indziej — ani w tej mozaice, ani w żadnej innej.

Jest tu wybór, który zrobiliśmy świadomie i który ma znaczenie dla rysującego. Kształtów tego rodzaju znaleziono wtedy dwa: „hat" i „spectre". Hat jest popularniejszy i ładniej wygląda na ilustracjach, ale ma haczyk — żeby nim wypełnić płaszczyznę, część kafli musi być odbita lustrzanie. Artysta pobierałby więc raz szablon, a raz jego lustrzane odbicie, i musiałby pilnować, który dostał.

Spectre tego nie wymaga. Wypełnia płaszczyznę samymi obrotami — dwanaście położeń, wszystkie będące obrotem tej samej figury. Jeden szablon, obrócony. Dlatego w Mossaic jest spectre.

Co się zmieniło pod spodem

Wszystkie dotychczasowe kształty łączyła jedna rzecz: dało się policzyć, gdzie leży kafel, znając jego numer wiersza i kolumny. Cała mozaika stała na tym założeniu — od rysowania płótna, przez pobieranie szablonu, po sprawdzanie, kto na kogo czeka w kolejce.

Przy spectre to założenie znika. Kafle nie leżą w kratce; powstają przez rozrastanie wzoru, a ich pozycji nie da się wyliczyć z numeru. Układ jest więc tworzony raz, w chwili zakładania mozaiki, i zapamiętywany — a wszystko, co dotąd liczyło pozycje, przy tym kształcie je odczytuje.

To była najbardziej pouczająca część tej pracy. Nie dlatego, że sam kafelek jest trudny, tylko dlatego, że sprawdzenie jednej rzeczy — „czy ten kształt na pewno wypełnia płaszczyznę" — nie mówi nic o tym, czy działa reszta: rezerwacje, terminy, podgląd sąsiadów, szablony do pobrania. Kilka rzeczy, które trzeba było naprawić, wyszło dopiero wtedy, gdy zaczęliśmy sprawdzać mozaikę spectre tak, jakby korzystał z niej człowiek, a nie tylko kalkulator.

Jedna z nich jest warta wspomnienia, bo mogła kosztować kogoś rysunek: poszerzanie mozaiki o jedną kolumnę potrafiło wypchnąć kafel poza jej brzeg. Przy poszerzaniu o dwie już nie — i właśnie dlatego nie było tego widać. Dziś operacja, która miałaby zgubić choćby jeden kafel, jest po prostu odrzucana.

Trzy nowe kształty są już dostępne przy zakładaniu mozaiki. Przy wyborze widać żywy fragment każdej siatki — bo „pięciokąt pryzmatyczny" nikomu nic nie mówi, dopóki się go nie zobaczy.